Materi Matematika Kelas XII Tentang Dimensi 3 (KP 2) oleh Dani Choerudin,S.S.I, S.Pd

Dimensi Tiga 

Kegiatan Pembelajaran 2

Jarak Titik ke Garis

Perhatikan gambar berikut ini:

Manakah ruas garis terpendek? Tentunya ruas garis terpendek adalah ruas garis AB yang tegak lurus (membentuk sudut siku-siku) dengan garis g. Mengapa demikian?

Coba kalian perhatikan ruas garis AB dan AC, terlihat bahwa ABC membentuk segitiga siku-siku di B dengan AC merupakan sisi miring. Nah, tentunya kalian masih ingat bahwa sisi miring merupakan sisi terpanjang pada sebuah segitiga siku-siku. Ini berarti bahwa ruas garis AB lebih pendek dari AC. 

Demikian halnya jika kita membuat ruas garis lainnya dari titik A ke garis g. misalnya AD sehingga terbentuk segitiga ABD siku-siku di B dengan AD merupakan sisi miring. Begitupan juga sebaliknya. 

"Jadi, ruas garis terpendek adalah ruas gari AB. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa jarak titik A ke g adalah Panjang ruas garis AB, yaitu ruas garis tegak lurus antara titik A ke garis g."

Dalam hal ini, titik B biasa disebut sebagai proyeksi titik A terhadap garis g. Proyeksi adalah pencerminan sebuah titik, sebuah garis, atau sebuah bidang pada sebuah objek (garis atau bidang datar) sehingga menghasilkan suatu bayangan yang kita sebut hasil proyeksi

Langkah-langkah untuk menghitung jarak titik A ke garis g sebagai berikut:

a. Hubungkan titik A ke titik C dan titik D sehingga terbentuk segitiga ACD.
b. Hitung jarak antar dua titik, yaitu AC, AD, dan CD untuk menetapkan jenis segitiga.
c. Hitung tinggi segitiga ACD, yaitu AB yang merupakan jarak titik A ke garis g.
 

Dari langkah-langkah di atas, ada 3 jenis segitiga ACD yang mungkin terbentuk. Berikut ini cara menghitung panjang ruas garis AB atau jarak titik A ke garis g:

1. ⧍ ACD sama kaki 

⧍ ACD sama kaki, sehingga `BC=BD=\frac{1}{2}CD`

Dengan Teorema Pythagoras diperoleh:
`AB^{2}=AD^{2}-(\frac{1}{2}CD)^{2}`

`AB^{2}=AD^{2}-BD^{2}` 

`AB^{2}=AD^{2}-BC^{2}`

2. ⧍ ACD siku-siku di A

Gunakan rumus luas ⧍ ACD
Luas `\Delta ACD=\frac{1}{2}\times CD\times AB` 

Luas `\Delta ACD=\frac{1}{2}\times CD\times AB`

Sehingga diperoleh:

`\frac{1}{2}\times CD\times AB=\frac{1}{2}\times CD\times AB`

`CD\times AB = CD\times AB`

`AB=\frac{AC\times AD}{CD}`

3.⧍ ACD sembarang

`x+y=AB\to y=AB-x`

`\vee x=AB-y`

Rumus yang digunakan:

`AB^{2}=AD^{2}-y^{2}`

`AB^{2}=AC^{2}-x^{2}`

Masalah 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Berapakah jarak titik A ke diagonal bidang BE? 

Jawab

Perhatikan gambar dibawah ini! 

Jika titik B dan E dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh sebagai berikut:

Jarak titik A ke bidang diagonal adalah panjang ruas garis AM dengan BM = ½ BE, karena segitiga ABE merupakan segitiga sama kaki (AB = AE).
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh,

`AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}`

Terlebih dahulu ditentukkan panjang BE, dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh:

`BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}`

`BE^{2}=6^{2}+6^{2}`

`BE^{2}=6^{2} (1+1)`

`BE^{2}=6^{2} (2)`

`BE=\sqrt{6^{2}\times 2}`

`BE=6\sqrt{2}`

Sehingga panjang  

`BM=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}(6\sqrt{2})= 3\sqrt{2}`

Dengan demikian diperoleh:

`AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}`

`AM^{2}=6^{2}-(3\sqrt{2})^{2}`

`AM^{2}=36-18`

`AM=\sqrt{18}`

`AM=3\sqrt{2}`

Jadi, jarak titik A ke diagonal bidang BE adalah 

`3\sqrt{2}` cm

Catatan!

Pada kubus dengan panjang rusuk α, maka:

a. Panjang diagonal bidang adalah `\alpha \sqrt{2}`

b. Panjang diagonal ruang adalah `\alpha\sqrt{3}`

Masalah 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak titik H ke gari AG?

Jawab

Perhatikan gambar dibawah ini!
Jika titik N terletak pada garis AG, dan ruas gari HN tegak lurus garis AG, maka diperoleh sebagai berikut:

Pada gambar di atas terlihat ⧍ AHG siku-siku di H dan garis tinggi HN. 

Berdasarkan Teorema Pythagoras, AH merupakan diagonal bidang kubus berarti 

`AH=8\sqrt{2}` cm

dan AG merupakan diagonal ruang kubus, berarti`

`AG=8\sqrt{3}` cm

Kita akan menghitung luas ⧍ AHG dalam dua sudut pandang, yaitu

Luas `\Delta AHG=\frac{1}{2}\times AH\times GH` atau Luas `\Delta AHG=\frac{1}{2}\times AG\times HN`

Sehingga diperoleh:

`\frac{1}{2}\times AH\times GH=\frac{1}{2}\times AG\times HN`

`8\sqrt{2}\times 8=8\sqrt{3}\times HN`

`HN=\frac{8\sqrt{2}\times 8}{8\sqrt{3}}`

`HN=\frac{8}{3} \times\sqrt{6}`

Jadi, jarak titik H ke garis AG adalah

`\frac{8}{3}\sqrt{6}` cm

Latihan Soal

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik T merupakan titik tengah CG. Hitung jarak titik T ke garis HB?

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitung jarak titik H ke garis AC?

3. Perhatikan gambar bangun ruang balok berikut ini!

Pertanyaan:

a. Hitung jarak titik B ke garis CF?

b. Hitung jarak titik D ke garis CH?