Materi Matematika Kelas XI Tentang Induksi Matematika (KP 3) Oleh Dani Choerudin, S.S.I,S.Pd

 Induksi Matematika

Kegiatan Pembelajaran 3

Penerapan Induksi Matematika

A. Barisan Bilangan (Deret Aritmatika)

Sebelum melakukan pembuktian jumlah barisan (deret), ada beberapa hal yang perlu kalian pahami terkait deret bilangan, yaitu:

`P(n)=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}=S_{n}`, maka 

`P(1)=u_{1}=S_{1}`

`P(k)=u_{1}+u_{2}+u_{3}...+u_{k}=S_{k}`

`P(k+1)=u_{1}+u_{2}+u_{3}...+u_{k}+u_{k+1}=S_{k+1}`

Untuk langkah-langkahnya pada pembahasan sebelumnya dengan dimisalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli, maka pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

a. Langkah Awal (Basic Step) : P(n) benar untuk n = 1
b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k, untuk setiap k bilangan asli 
c. Tunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1   

Masalah 1

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari deret aritmatika dengan suku pertama a dan beda b adalah 

`a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

dengan n adalah bilangan asli.

Jawab

Akan ditunjukan bahwa : 

`a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

Misalkan P(n) adalah persamaan 

`P(n)=a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

Untuk membuktikan kebeneran pernyataan P(n), harus diselidiki terlebih dahulu memenuhi prinsip induksi matematika yaitu sebagai berikut: 

a. Langkah Awal (Basic Step) P(n) Benar untuk n = 1

`(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

`(a+(1-1)b)=\frac{1}{2}1(2a+(1-1)b)`

`(a+(0)b)=\frac{1}{2}(2a+(0)b)`

`(a+0)=\frac{1}{2}(2a+0)`

`a=\frac{1}{2}(2a)`

`a=a`

Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama

b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k 

Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sehingga diperoleh:   

`a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

`a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(k-1)b)=\frac{1}{2}k(2a+(k-1)b)`

c. Tunjukan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 

`a+(a+b)+(a+2b)+...+(a+(k-1)b)+(a+(n-1)b)=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)`

`\frac{1}{2}k(2a+(k-1)b)+(a+((k+1)-1)b)=\frac{1}{2}(k+1)(2a+((k+1)-1)b)`

`\frac{1}{2}(k+1) (2a+bk)=\frac{1}{2}(k+1) (2a+bk)`

Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama, maka langkah induksi selesai.

B. Keterbagian

Sebelum melakukan pembuktian keterbagian, ada beberapa hal yang perlu kalian pahami terkait keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi. 

Pernyataan "a habis dibagi b" bersinonim dengan:

a. a kelipatan b
b. b faktor dari a 
c. b membagi a  

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a. Sebagai contoh, 6 habis dibagi 3 dan 9 habis dibagi 3, maka (6+9) juga habis dibagi 3. 

Masalah 1

Buktikan bahwa `7^{n}-1` habis dibagi 6

Jawab

Akan ditunjukan bahwa : 

`7^{n}-1` habis dibagi 6

Misalkan P(n) adalah pernyataan 

`P(n)=7^{n}-1` habis dibagi 6

Untuk membuktikan kebeneran pernyataan P(n), harus diselidiki terlebih dahulu memenuhi prinsip induksi matematika yaitu sebagai berikut: 

a. Langkah Awal (Basic Step) P(n) Benar untuk n = 1

`7^{n}-1` habis dibagi 6

`7^{1}-1` habis dibagi 6

`7-1=6` habis dibagi 6

Terbukti benar

b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k 

Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sehingga diperoleh:   

`7^{n}-1` habis dibagi 6

`7^{k}-1=6c` untuk sebarang bilangan asli c

`7^{k}=6c+1`

c. Tunjukan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 

`7^{n}-1` habis dibagi 6

`7^{k+1}-1` habis dibagi 6

`7^{k+1}-1=7^{k}7^{1}-1` (karena `7^{k}=6c+1`)

`(6c+1)7-1`

`(42c+7)-1`

`(42c+6)`

`6(7c+1)`

Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kelipatan 6, yaitu : 6(7c+1). Sehingga memenuhi prinsip induksi matematika, maka terbukti benar bahwa: 

`P(n)=7^{n}-1` habis dibagi 6

C. Ketidaksamaan (Ketaksamaan)

Sebelum melakukan pembuktian keterbagian, ada beberapa hal yang perlu kalian pahami terkait ketidaksamaan (ketaksamaan), berikut sifat-sifat ketidaksamaan yang sering digunakan: 

`a>b>c\Rightarrow a>c ` atau

`a<b<c\Rightarrow a<c `

`a<b` dan `c>0\Rightarrow ac<bc ` atau

`a>b` dan `c>0\Rightarrow ac>bc `

`a<b\Rightarrow a+c<b+c ` atau

`a>b\Rightarrow a+c>b+c `

Masalah 1

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa ketaksamaan `n<2^{n}`

untuk sebarang bilangan asli n. 

Jawab

Akan ditunjukan bahwa : 

`n< 2^{n}`

Misalkan P(n) adalah pernyataan 

`P(n)=n<2^{n}`

Untuk membuktikan kebeneran pernyataan P(n), harus diselidiki terlebih dahulu memenuhi prinsip induksi matematika yaitu sebagai berikut: 

a. Langkah Awal (Basic Step) P(n) Benar untuk n = 1

`n<2^{n}`

`1<2^{1}`

`1<2`

Terbukti benar

b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k 

Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sehingga diperoleh:   

`n<2^{n}`

`k<2^{k}`

Dimana k adalah sebarang bilangan asli

c. Tunjukan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1 

`n<2^{n}`

`k+1<2^{k+1}`   

`k+1<2^{k}2^{1}`

Untuk menenjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sebarang bilangan asli k, dengan penambahan 1 ke dalam kedua ruas pada poin b. langkah induksi dengan memperhatikan .

`1\leq 2^{k}`

Sehingga:

`k+1<2^{k+1}\leq 2^{k}+2^{k}=2.2^{k}=2^{k+1}`

Sehingga memenuhi prinsip induksi matematika, maka terbukti benar 

Latihan Soal

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari deret aritmatika seperti berikut ini:

a. `1+4+7+..+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}`

b. `n^{2}+n ` habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli n 

c. `(n+1)^{2}<2n^{2}`