Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika secara sistematis. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah.
Dalam hakikat sejarahnya penggunaan induksi matematika sudah dibukukan dan dibuktikan oleh Francesco Maurolico (1494-1575) dalam bukunya Arithmeticorum Libri Duo yang menyajikan berbagai sifat-sifat bilangan bulat bersama-sama dengan bukti dari sifat-sifatnya sebagai pembenaran dalam penggunaan induksi matematika.
Kegiatan Pembelajaran 1
Pengantar Induksi Matematika
Perhatikan ilustrasi berikut ini:
Dari ilustrasi di atas, bahwa setiap papan domino yang berjatuhan dapat menggambarkan induksi matematis setiap pergerakan domino berjatuhan sebagai pemisalan Sn dengan n adalah suatu bilangan yang terdapat pada papan domino. Maka dapat dibayangkan jika menjatuhkan papan domino S₁ ke arah S₂, pasti papan domino yang paling ujung atau sebagai Sn juga jatuh.
Masalah 1
Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 10?
Kemudian uji kebenaran formula yang ditentukan, sehingga berlaku untuk penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga n, dengan n bilangan asli!
Jawab
a. Pola yang terdapat pada soal tersebut adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
- Selisih dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1
- Hasil (1 + 10) = (2 + 9) = (3 + 8) = (4 + 7) = .... = (10 + 1) = 11
Maka terdapat 10 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan 11
Jadi Hasil 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 = `( \frac{10}{2} \)`x 11 = 55
b. Untuk mengetahui pola yang terdapat pada 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n bilangan asli, maka perlu sebarang dipilih n > 10. Misalnya dipilih n = 30. Maka pola yang didapatkan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 28 + 29 + 30.
- Selisih dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1
- Hasil (1 + 30) = (2 + 29) = (3 + 28) = (4 + 27) = .... = (30 + 1) = 31
Maka terdapat 30 pasangan bilangan yang jumlahnya sama dengan 31
Jadi Hasil 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 28 + 29 + 30 = `( \frac{30}{2} \)`x 31 = 465.
Dengan demikian untuk sebarang n bilangan asli yang genap, dapat menentukan jumlah bilangan berurutan mulai dari 1 hingga n.
Kegiatan Pembelajaran 2
Prinsip Dasar Induksi Matematika
Prinsip Dasar Induksi Matematika secara mendasarnya membuktikan kebenaran pada suatu pernyataan matematika yang disebut dengan P(n). Prinsip induksi matematika sering digunakan pada suatu deret/barisan aritmatika, ketidaksamaan, dan keterbagian bilangan dalam pembuktiannya.
Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli, maka pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:
a. Langkah Awal (Basic Step) : P(n) benar untuk n = 1
b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k, untuk setiap k bilangan asli
c. Tunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1
Masalah 1
Buktikan dengan induksi matematika pada bilangan berikut ini:
4 + 6 + 8 + .... + (2n + 2) = n² + 3n
Jawab
Akan ditunjukan bahwa : 4 + 6 + 8 + .... + (2n + 2) = n² + 3n
Misalkan P(n) adalah persamaan
P(n) = 4 + 6 + 8 + .... + (2n + 2) = n² + 3n
Untuk membuktikan kebeneran pernyataan P(n), harus diselidiki terlebih dahulu memenuhi prinsip induksi matematika yaitu sebagai berikut:
a. Langkah Awal (Basic Step) P(n) Benar untuk n = 1
2n + 2 = n² + 3n
2(1) + 2 = (1)² + 3(1)
2 + 2 = 1 + 3
4 = 4
Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama
b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k
Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sehingga diperoleh:
4 + 6 + 8 + .... + (2n + 2) = n² + 3n
4 + 6 + 8 + .... + (2k + 2) = k² + 3k
c. Tunjukan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1
4 + 6 + 8 + .... + (2k + 2) + (2n + 2) = n² + 3n
4 + 6 + 8 + .... + (2k + 2) + (2(k + 1) + 2) = (k + 1)² + 3(k +1)
k² + 3k + 2k + 2 + 2 = k² + 2k + 1 + 3k + 3
k² + 5k + 4 = k² + 5k + 4
Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama, maka langkah induksi selesai.
Masalah 2
Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n² ?
Jawab
Akan ditunjukan pola bilangan ganjil positif , yaitu : 2n - 1, untuk n bilangan asli.
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n - 1) = n²
Misalkan P(n) adalah persamaan
P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n - 1) = n²
Untuk membuktikan kebeneran pernyataan P(n), harus diselidiki terlebih dahulu memenuhi prinsip induksi matematika yaitu sebagai berikut:
a. Langkah Awal (Basic Step) P(n) Benar untuk n = 1
2n - 1 = n²
2(1) - 1 = (1)²
2 - 1 = 1
1 = 1
Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama
b. Langkah Induksi (Induction Step) : P(n) benar untuk n = k
Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sehingga diperoleh:
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n - 1) = n²
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k - 1) = k²
c. Tunjukan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1
1+ 3 + 5 + 7 + .... + (2k - 1) + (2n - 1) = n²
4 + 6 + 8 + .... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)²
k² + 2k + 2 - 1 = k² + 2k + 1
k² + 2k + 1 = k² + 2k + 1
Terbukti benar bahwa ruas kiri dan kanan sama, maka langkah induksi selesai.
Latihan Soal
1. Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola penjumlahan bilangan genap positif seperti pada pola dibawah ini:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20
Tentukan :
a. Uji kebenaran formula yang ditentukan, sehingga berlaku untuk penjumlahan bilangan mulai dari 2 hingga 20!
b. Uji kebenaran formula yang ditentukan, apabila penjumlahan bilangan mulai dari 2 hingga 50!
2. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus berikut benar untuk sebarang bilangan asli n.
a. 1 + 2 + 3 + ... + n = ` \frac{1}{2}`n (n + 1)
b. 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
c. 3 + 9 + 15 + ... + (6n - 3) = 3n²
Posting Komentar