Dimensi Tiga
Sebelum ke materi pokok pembahasan Dimensi Tiga, mari kita mengulas kembali telebih dahulu tentang Teorema Pythagoras sebagai hubungan mendasar dalam geomteri Euclidean di antara tiga sisi segitiga siku-siku. Teorema ini dapat ditulis sebagai persamaan yang menghubungkan Panjang sisi a, b dan c, sering disebut “Persamaan Pythagoras”
Baca Juga Biografi Geometri Euclidean
Jika c menunjukkan Panjang sisi miring (AC) dan a (BC) serta b (AB) menujukkan Panjang dari dua sisi lainnya, Teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai persamaan Pythagoras:
a² + b² = c² atau BC² + AB² = AC²
Jika Panjang a (BC) dan b (AB) diketahui, maka dapat dihitung sebagai:
c = √a² + b² atau AC = √BC² + AB²
Jika Panjang sisi miring c dan satu sisi (a atau b) diketahui, maka Panjang sisi lainnya dapat dihitung sebagai:
a = √c² - b² atau BC = √AC² - AB²
atau
b = √c² - a² atau AB = √AC² - BC²
Kegiatan Pembelajaran 1
Jarak Antar Titik
Banyak garis yang dibentuk melalui titik A, tetapi hanya satu garis yang melalui titik B, yaitu garis g. Pada garis g terdapat ruas garis AB. Jarak antara titik A dan titik B ditunjukkan oleh panjang ruas garis AB. "Jadi jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut"
Masalah 1
Bangun berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota.
Dimisalkan Ikbal berencana menuju kota C berangkat dari Kota A. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Ikbal dan tentukkan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat kalian berapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban kalian.
Nah, untuk menjawab masalah di atas, kita akan membuat tabel kemungkinan rute yang bisa dilalui Ikbal berikut ini:
|
No |
Kemungkinan rute
dari Kota A ke Kota C |
Panjang Lintasan |
|
1 |
A → C |
30 |
|
2 |
A → B → C |
21 + 18 =
39 |
|
3 |
A → D → C |
20 + 25 =
45 |
|
4 |
A → B → D → C |
21 + 22 +
25 = 68 |
|
5 |
A → D → B → C |
20 + 22 +
18 = 60 |
Dari tabel di atas tampak bahwa rute terpendek dari Kota A ke Kota C adalah rute yang pertama A → C sepanjang 30 km.
Jadi jarak antara Kota A dan Kota C adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan antara Kota A dan C, yaitu rute A → C sepanjang 30 km.
Dalam bangun ruang, menentukan jarak titik A dan titik B dapat digunakan Teorema Pythagoras bila terkait dengan segitiga siku-siku atau memakai aturan sinus dan cosinus bila tidak terkait dengan segitiga siku-siku.
Masalah 2
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan Panjang rusuk 20 cm. hitunglah jarak antara titik-titik berikuti ini:
a. B ke F
b. A ke D
c. G ke H
d. A ke C
e. H ke B
f. G ke titik tengah AB
Jawab
a. Jarak titik B ke F diwakili oleh Panjang ruas garis (rusuk) BF. Jadi, jarak titik B ke F adalah 20 cm.
b. Jarak titik A ke D diwakili oleh Panjang ruas garis (rusuk) AD. Jadi, jarak titik A ke D adalah 20 cm.
c. Jarak titik G ke H diwakili oleh Panjang ruas garis (rusuk) GH. Jadi, jarak titik G ke H adalah 20 cm
d. Jarak titik A ke C diwakili oleh panajang ruas garis AC. Ruas garis AC merupakan diagonal bidang alas ABCD.
Dari gambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. Berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:
AC² = AB² + BC² (Teorema Pythagoras)
AC² = 20² + 20² (Panjang AB = BC = 20 cm)
AC² = 400 + 400 = 400 (1+1)
AC² = 400 x 2
AC = √400 x 2 = 20√2 (√400 x 2 =√400 x √2 =20√2)
Jadi, jarak titik A ke C adalah 20√2 cm.
e. Jarak titik H ke B diwakili oleh Panjang ruas garis HB. Ruas garis HB merupakan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.
Dari gambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. ruas garis BD adalah diagonal bidang alas ABCD, sehingga BD = AC = 20√2 cm (hasil perhitungan pada bagian d).
Perhatikan segitiga BDH, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:
HB² = BD² + DH² (Teorema Pythagoras)
HB² = (20√2)² + 20² (Panjang BD = 20√2 cm dan rusuk DH = 20 cm)
HB² = 800 + 400 = 400 (2 + 1)
HB = √400 x 3
HB = 20√3
Jadi, jarak titik H ke B
adalah
cm
f. Misalkan P adalah titik tengah AB. Jarak titik G tengah AB diwakili oleh Panjang ruas garis GP seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Dari gambar diatas, kita perhatikan bahwa segitiga BGP adalah segitiga siku-siku di B. ruas garis BG adalah diagonal bidang alas BCGF, sehingga BG = 20√2 cm (Panjang BG = AC = BD, semuanya adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH).
Perhatikan segitiga BGP, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:
GP² = BG² + BP² (Teorema Pythagoras)
GP² = (20√2)² + 10² (Panjang BG = 20√2 cm dan rusuk BP = 10 cm)
GP² = 800 + 100
GP² = 900
GP = √900 = 30
Jadi, jarak titik G ke P titik tengah AB adalah 30 cm.
Latihan Soal
1. Perhatikan rute perjalanan Pak Dani dari titik A (Rumah) dibawah ini:
Pertanyaan :
a. Buatlah Tabel teori kemungkinan rute perjalanan Pak Dani dari titik A (Rumah) ke Kota C?
b. Jika Pak Dani berangkat dari titik M (Masjid) menuju Kota C berapakah jarak tempuh yang dari Masjid ke Kota C?
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk 10 cm. hitunglah jarak antara titik-titik berikut ini:
a. A ke E
b. A ke C
c. A ke G
d. A ke titik tengah CG
3. Perhatikan gambar bangun ruang Balok dibawah ini:
Posting Komentar